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Zur Konstruktion einfacher Charaktere und der Fortsetzungen ihrer Heisenbergdarstellungen für lokale zentral-einfache Algebren

by Grabitz, Martin

Abstract (Summary)
In dieser Dissertationsschrift soll erkl{\"a}rt werden, wie auf der Grundlage von einfachen Strata, wie sie in einer gemeinsamen Arbeit mit Broussous \cite{BG} betrachtet wurden, einfache Charaktere f{\"u}r lokale einfache Algebren konstruiert werden k{\"o}nnen, wobei die Konstruktion den Vorbildern von Bushnell und Kutzko im zerfallenden Fall \cite{BK1} und von Zink \cite{Z7} im Falle eines Schiefk{\"o}rpers folgt. Der Begriff des einfachen Charakters geht auf die Arbeit \cite{BK1} zur{\"u}ck und bezeichnet eine ausgezeichnete Auswahl von Heisenbergcharakteren, die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter zugeordnet wird, der zu einer absteigenden Normalreihe $$1+\R\supset1+\R^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, wobei $\R$ das Jacobsonradikal einer erblichen Ordnung bezeichnet. Wir werden hier nur von Hauptordnungen ausgehen, d.h. von dem Fall, da{ss} $\R$ und seine Potenzen gebrochene Hauptideale sind. Diese Vorgehensweise und auch die besondere Auswahl der Heisenbergcharaktere in Form von einfachen Charakteren, wird durch die Konstruktion im Falle eines Schiefk{\"o}rpers \cite{Z7} und durch den abstrakten Matchingsatz \cite{BDKV} gerechtfertigt. Im Falle eines lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers ist n{\"a}mlich der Bewertungsring die einzige erbliche Ordnung und die einfachen Charaktere sind alle Heisenbergcharaktere die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter, der zur absteigenden Normalreihe $$1+\pin_D\supset1+\pin_D^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, zugeordnet wird, wobei $\pin_D$ das Bewertungsideal des Schiefk{\"o}rpers $D$ bezeichnet. Der abstrakte Matchingsatz liefert nun die Existenz einer Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ und den irreduziblen quadratintegrierbaren glatten Darstellungen einer beliebigen anderen lokalen zentraleinfachen Algebra vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben nicht-archimedischen Grundk{\"o}rper $F$, welche den Charakter einer Darstellung in dem Sinne erh{\"a}lt, da{ss} die Charakterwerte auf den Konjugationsklassen elliptischer Elemente der verschiedenen Algebren, welche mithilfe ihrer Minimalpolynome identifiziert werden k{\"o}nnen, bis auf ein Vorzeichen {\"u}bereinstimmen. Wir werden hier kanonische Bijektionen zwischen den einfachen Charakteren f{\"u}r verschiedene zentraleinfache Algebren vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben Grundk{\"o}rper angeben, von denen wir erwarten, da{ss} sie mit der Abbildung des abstrakten Matchingsatzes vertr{\"a}glich sind. Das dieses in der Tat der Fall ist, wurde bisher nur in einfachen F{\"a}llen wie \cite{He} und \cite{BH2} gezeigt, jedoch wurde in der Arbeit \cite{Z4} bereits mithilfe der Konstruktionen von \cite{Z7} und \cite{BK3} eine Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ vom Index $N$ {\"u}ber einem Grundk{\"o}rper $F$ und den irreduziblen essentiell quadratintegrierbaren glatten Darstellungen von $Gl_N(F)$ konstruiert, welche den Artinf{\"u}hrer und den formalen Grad einer Darstellung erh{\"a}lt. Da die Abbildung des abstrakten Matchingsatzes dieselben Forderungen erf{\"u}llt, kommt dies der gew{\"u}nschten Vertr{\"a}glichkeit schon sehr nahe und wir erf{\"u}llen mit unserer Konstruktion insbesondere die in der Arbeit \cite{Z4} gemachte Forderung die dort im Bezug auf die einfachen Charaktere getroffen Auswahlen noch unabh{\"a}ngiger von den jeweiligen Algebren zu gestalten. Die hier getroffene Auswahl wird durch die Verwendung sogenannter spezieller approximierender Folgen getroffen, welche sich aus einer Verallgemeinerung der in \cite{BG} gemachten {\"U}berlegungen ergeben. Im Anschlu{ss} an die Konstruktion und den Vergleich einfacher Charaktere werden wir in einer gro{ss}en Anzahl von F{\"a}llen zeigen, da{ss} sich die Heisenbergdarstellungen, die wir zu den einfachen Charakteren erhalten, in kanonischer Weise fortsetzen lassen und wir erwarten von diesen Fortsetzungen, da{ss} sie analoge Eigenschaften besitzen, wie die sogenannten ``$\beta$-Fortsetzungen'' von \cite{BK1}(5.2.1) im zerfallenden Fall. Damit k{\"o}nnen wir in diesen F{\"a}llen eine Liste von hypothetischen einfachen Typen angeben, von denen wir vermuten, da{ss} sie alle Bernsteinkomponenten parametrisieren, welche irreduzible essentiell quadratintegrierbare Darstellungen enthalten. Insbesondere vermuten wir, da{ss} sich die supercuspidalen Darstellungen mittels kompakter Induktion aus Fortsetzungen solcher einfacher Typen auf eine kompakt modulo Zentrum Untergruppe gewinnen lassen. Um die Vollst{\"a}ndigkeit dieser Konstruktion zu demonstrieren, h{\"a}tten wir allerdings noch die Eigenschaft ``Verkettung impliziert Konjugation'' zu zeigen, welche wir ebenfalls auf eine Folgearbeit verschieben m{\"u}ssen. Beabsichtig w{\"a}re dann ein Vollst{\"a}ndigkeitsbeweis mit dem abstrakten Matchingsatz wie bei L. Corwin \cite{Co} oder in \cite{Z4}. Wir weisen hier nur in Spezialf{\"a}llen nach, dass die Typendarstellungen, welche wir hier angegeben haben, tats{\"a}chlich Typen im Sinne von \cite{BK4}(4.1)(4.2) sind. Insbesondere sind es auch unsere Berechnungen in der Arbeit \cite{GSZ}, welche dem von uns im Geiste von \cite{Z7} und \cite{BK1} gemachten Ans{\"a}tzen hohe Evidenz geben.
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Bibliographical Information:

Advisor:

School:Humboldt-Universität zu Berlin

School Location:Germany

Source Type:Master's Thesis

Keywords:Mathematik Zahlentheorie (MSC:11F85) Darstellungstheorie (MSC:11F70) Lokale einfache Algebren (MSC:22E50)

ISBN:

Date of Publication:07/05/2000

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