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Stochastische Differentialgleichungen mit unendlichem Gedächtnis

by Riedle, Markus

Abstract (Summary)
Für einen R^d-wertigen stochastischen Prozess X auf R bezeichne X_t den Segmentprozess X_t:={X(t+u): u <= 0} für t >= 0. Es wird folgende affine stochastische Differentialgleichung mit unendlichem Gedächtnis betrachtet: dX(t)=L(X_t)dt + dW(t) für t >= 0, X_0=F, (A) wobei L:B -> R^d ein lineares stetiges Funktional, W einen Wiener-Prozess mit Werten in R^d sowie B einen semi-normierten linearen Unterraum von {f:(-00, 0] -> R^d} bezeichnen. Die Anfangsbedingung F ist eine B-wertige Zufallsvariable. Die Lösung X der Gleichung (A) lässt sich mittels einer Formel der Variation der Konstanten darstellen. Für die Existenz einer stationären Lösung werden hinreichende und notwendige Bedingungen vorgestellt. Für eine spezielle Klasse von Funktionalen L kann Gleichung (A) auf ein System gewöhnlicher stochastischer Gleichungen ohne Gedächtnis reduziert werden. Diese Reduktion wird im Detail untersucht, insbesondere gewinnt man hierdurch ein einfaches äquivalentes Kriterium für die Existenz stationärer Lösungen von Gleichungen mit Funktionalen L dieser Klasse. Durch Einbettung der Gleichung (A) in den Bidualraum B** gelingt die Bestimmung der Lyapunov-Exponenten der Lösung. Hierzu wird ein neuer Zusammenhang der Lösung der sogenannten adjungierten Gleichung von (A) und einer Spektralzerlegung des Raumes B benutzt. Die Untersuchung der stetigen Abhängigkeit der Lösung von dem Funktional L und der Anfangsbedingung F ermöglicht die Behandlung anwendungsorientierter Aspekte. In Verbindung mit den Ergebnissen über reduzierbare Gleichungen wird ein Verfahren zur Approximation der Lösung von Gleichung (A) durch Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse vorgestellt. Eine allgemeine Klasse von Ito-Differentialgleichungen mit nichtlinearen vergangenheitsabhängigen Drift- und Dispersionskoeffizienten wird eingeführt, in der die Gleichung (A) als eine spezielle affine Gleichung verstanden werden kann. Für diese allgemeinen Gleichungen wird ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz nachgewiesen.
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Bibliographical Information:

Advisor:

School:Humboldt-Universität zu Berlin

School Location:Germany

Source Type:Master's Thesis

Keywords:Mathematik stochastische Differentialgleichungen mit Gedächtnis stationäre Lösungen reduzierbare funktionale

ISBN:

Date of Publication:07/02/2003

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