Sobre espacios y álgebras de funciones holomorfas

by Sevilla Peris, Pablo

RESUMEN La Tesis Sobre espacios y ´algebras de funciones holomorfas se estructura en tres cap´ýtulos diferentes. En cada uno de ellos se aborda un problema diferente. El primer cap´ýtulo se dedica al estudio de los operadores de composici´on. La idea original es bastante sencilla y natural. Tomamos el disco unidad complejo, que denotamos D, y una funci´on holomorfa : D ?! D. Con esto se define un operador f 7! f donde f : D ?! C es una funci´on holomorfa. Consideramos el caso en que en lugar de D tenemos B, la bola unidad de un espacio de Banach y el operador est´a definido entre espacios ponderados de funciones holomorfas. Generalizamos algunos resultados relativos a la continuidad y la compacidad del operador dados por Bonet, Doma´nski, Lindstr ¨om and Taskinen para el caso unidimensional. En en el segundo cap´ýtulo se estudia la teor´ýa espectral en ´algebras lmc. La teor´ýa espectral cl´asica para elementos de un ´algebra unitaria cualquiera ha sido ampliamente estudiada y desarrollada. Durante la d´ecada de los 1930 Gelfand desarroll´o un trabajo en el que relacionaba la teor´ýa espectral en ´algebras de Banach conmutativas con los homomorfismos de ´algebras continuos. Haciendo uso del espectro definido por Harte en los anos 1970 definimos un espectro vectorial para elementos de un producto tensorial. Tomamos A un ´algebra con unas ciertas propiedades y E un espacio localmente convexo, para cada T 2 A T E definimos y estudiamos un espectro (T) E. Los primeros pasos en esta direcci´on fueron dados por Dineen, Harte y Taylor para espacios y ´algebras de Banach. En el ´ultimo cap´ýtulo se estudia el cotipo 2 de ciertos espacios de polinomios. Los or´ýgenes del estudio del tipo y el cotipo se remontan la la d´ecada de 1930, en estudios de Orlicz. En la d´ecada de 1970 se formalizaron los dos conceptos. Un resultado probado por Dineen en 1995 tiene como consecuencia inmediata que si E es un espacio de Banach de dimensi´on infinita entonces P(mE) no tiene cotipo 2. Si X es un espacio de Banach de sucesiones y Xn son determinados subespacios finitodimensionales, la sucesi´on (C2(P(mXn)))n debe tender a 1. En este cap´ýtulo damos una descripci´on asint´otica de esta divergencia.