Robust utility maximization, f-projections, and risk constraints

by Gundel, Anne

Ein wichtiges Gebiet der Finanzmathematik ist die Bestimmung von Auszahlungsprofilen, die den erwarteten Nutzen eines Agenten unter einer Budgetrestriktion maximieren. Wir charakterisieren optimale Auszahlungsprofile für einen Agenten, der unsicher ist in Bezug auf das genaue Marktmodell. Der hier benutzte Dualitätsansatz führt zu einem Minimierungsproblem für bestimmte konvexe Funktionale über zwei Mengen von Wahrscheinlichkeitsmaßen, das wir zunächst lösen müssen. Schließlich führen wir noch eine zweite Restriktion ein, die das Risiko beschränkt, das der Agent eingehen darf. Wir gehen dabei wie folgt vor: Kapitel 1. Wir betrachten das Problem, die f-Divergenz f(P|Q) über zwei Mengen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu minimieren, wobei f eine konvexe Funktion ist. Wir zeigen, dass unter der Bedingung "f( undendlich ) / undendlich = undendlich" Minimierer existieren, falls die erste Menge abgeschlossen und die zweite schwach kompakt ist. Außerdem zeigen wir, dass unter der Bedingung "f( undendlich ) / undendlich = 0" ein Minimierer in einer erweiterten Klasse von Martingalmaßen existiert, falls die zweite Menge schwach kompakt ist. Kapitel 2. Die Existenzresultate aus dem ersten Kapitel implizieren die Existenz eines Auszahlungsprofils, das das robuste Nutzenfunktional inf E_Q[u(X)] über eine Menge von finanzierbaren Auszahlungen maximiert, wobei das Infimum über eine Menge von Modellmaßen betrachtet wird. Die entscheidende Idee besteht darin, die minimierenden Maße aus dem ersten Kapitel als gewisse "worst-case"-Maße zu identifizieren. Kapitel 3. Schließlich fordern wir, dass das Risiko der Auszahlungsprofile beschränkt ist. Wir lösen das robuste Problem in einem unvollständigen Marktmodell für Nutzenfunktionen, die nur auf der positiven Halbachse definiert sind. In einem Beispiel vergleichen wir das optimale Auszahlungsprofil unter der Risikorestriktion mit den optimalen Auszahlungen ohne eine solche Restriktion und unter einer Value-at-Risk-Nebenbedingung.