Relationentheoretische Charakterisierung teilweise angeordneter schwach-affiner Geometrien und ihrer Fernstrukturen / Relational characterization of partially ordered weak-affine spaces and their projected structures

by Ledabo, Thomas

Die relationalen Algebren 'affines Relativ' und 'affine Anordnungsalgebra', die von Hans-Joachim Arnold zur synonymen Algebraisierung allgemeiner und Hilbertsch angeordneter affiner Geometrien ohne die Notwendigkeit der Gültigkeit des Satzes von Desargues verwendet werden, werden hier für eine gemeinsame algebraische Darstellung aller affiner Geometrien verallgemeinert. Dazu wird eine neue Form der Anordnung entwickelt, die frei vom Paschschen Axiom der ebenen Anordnung und unter gewissen Pappusschen Bedingungen sogar mit der Semiordnung verwandt ist, wie sie u.a. von Helga Tecklenburg beschrieben wird. Die geometrischen Strukturen, die mittels Projektion von einem geeigneten Punkt aus erhalten werden können, werden ebenfalls durch eine Verallgemeinerung der 'projektiven Multigruppe' und der 'projektiven Punktalgebra mit Involution' algebraisiert. Dadurch ergeben sich nahezu projektive Geometrien mit einer abgeschwächten Hessenbergschen Anordnung. Schließlich erlaubt die somit entwickelte Theorie eine Anwendung auf schwach-affine Geometrien (einschließlich Synonymität und Anordenbarkeit in dem hier beschriebenen Sinne) und damit eine Charakterisierung solcher Geometrien mit halb- oder vollständig projektivem Fernraum, d.h. mit Projektionen, die die Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden, das Axiom von Veblen oder sogar gewisse Bedingungen der Hessenbergschen Anordnung erfüllen.

The relational algebras 'affines Relativ' and 'affine Anordnungsalgebra' - relational structures with fixed arity used by Hans-Joachim Arnold for a synonymous algebraization of affine spaces and hilbertian ordered affine spaces without the need of the desarguesian axiom - are generalized for a common algebraic representation of any affine space including those with complete order. Therefore a new ordering is developed, which is independent from the axiom of Pasch and associated to the semiorder as described by e.g. Helga Tecklenburg under certain pappian conditions. The geometric structures obtained through projection from a certain point are also algebrized by a generalization of the 'projektive Multigruppe' and the 'projektive Punktalgebra mit Involution' leading to a generalized hessenbergian order of nearly projective spaces. Finally the whole theory is applied onto weak-affine spaces (still ensuring synonymity and orderability in the sense described here) and allows a characterization of those geometries having half or fully completed projections, i.e. projections with the axiom of Veblen, its generalizations or its ordered forms.