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Nonparametric estimation for stochastic delay differential equations

by Reiß, Markus

Abstract (Summary)
Sei (X(t), t>= -r) ein stationärer stochastischer Prozess, der die affine stochastische Differentialgleichung mit Gedächtnis dX(t)=L(X(t+s))dt+sigma dW(t), t>= 0, löst, wobei sigma>0, (W(t), t>=0) eine Standard-Brownsche Bewegung und L ein stetiges lineares Funktional auf dem Raum der stetigen Funktionen auf [-r,0], dargestellt durch ein endliches signiertes Maß a, bezeichnet. Wir nehmen an, dass eine Trajektorie (X(t), -r <= t <= T) bis zur Zeit T>0 beobachtet wird. In diesem Modell wird nun die Schätzung der Gewichtsfunktion g betrachtet unter der Voraussetzung da(s)=g(s)ds . Indem eine enge Beziehung mit einem schlechtgestellten inversen Problem aufgezeigt wird, sind wir in der Lage, das Galerkin-Projektionsverfahren zur Konstruktion einer Schätzung von g zu benutzen. Für eine L^2-Risikofunktion wird gezeigt, dass diese Galerkin-Schätzfunktion mit der Rate T^(-s(2s+3)) für Funktionen g im Sobolevraum H^s([-r,0]), s>0, konvergiert. Diese Rate ist schlechter als in vielen klassischen Fällen. Wir beweisen jedoch eine untere Schranke, die zeigt, dass keine Schätzung eine bessere Rate im Minimax-Sinn aufweisen kann. Für zeit-diskrete Beobachtungen von maximalem Abstand Delta konvergiert die Galerkin-Schätzung immer noch mit obiger Rate, sofern Delta is in etwa von der Ordnung T^(-1/2). Hingegen wird bewiesen, dass für festes Delta unabhängig von T die Rate sich signifikant verschlechtern muss, indem eine untere Schranke von T^(-s/(2s+6)) gezeigt wird. Außerdem wird eine adaptive Schätzung basierend auf Wavelet-Thresholding-Techniken für das assoziierte schlechtgestellte Problem konstruiert. Diese nichtlineare Schätzung erreicht die obige Minimax-Rate sogar für die allgemeinere Klasse der Besovräume B^s_(p,infinity) mit p>max(6/(2s+3),1). Die Restriktion p>=max(6/(2s+3),1) muss für jede Schätzung gelten und ist damit inhärent mit dem Schätzproblem verknüpft. Schließlich wird ein Hypothesentest mit nichtparametrischer Alternative vorgestellt, der zum Beispiel für das Testen auf Gedächtnis verwendet werden kann. Dieser Test ist anwendbar für eine L^2-Trennungsrate zwischen Hypothese und Alternative der Ordnung T^(-s/(2s+2.5)). Diese Rate ist wiederum beweisbar optimal für jede mögliche Teststatistik. Für die Beweise müssen die Parameterabhängigkeit der stationären Lösungen sowie die Abbildungseigenschaften der assoziierten Kovarianzoperatoren detailliert bestimmt werden. Weitere Resultate von allgemeinem Interessen beziehen sich auf die Mischungseigenschaft der stationären Lösung, eine Fallstudie zu exponentiellen Gewichtsfunktionen sowie der Approximation des stationären Prozesses durch autoregressive Prozesse in diskreter Zeit.
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Bibliographical Information:

Advisor:

School:Humboldt-Universität zu Berlin

School Location:Germany

Source Type:Master's Thesis

Keywords:Mathematik affine stochastische Differentialgleichungen mit Gedächtnis schlechtgestellte inverse Probleme Minimax-Raten

ISBN:

Date of Publication:02/13/2002

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