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Monte Carlo Simulation of Boundary Crossing Probabilities for a Brownian Motion and Curved Boundaries

by Drabeck, Florian

Abstract (Summary)
Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, dass eine gewöhnliche Brownsche Bewegung W(t) eine Schranke c(t) in einem endlichen Zeitintervall [0, T] überschreitet. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit Q(c(t); T). Auf Grund von Fortschritten in der Forschung scheint ein neuer Weg, Q(c(t); T) zu schätzen, viel versprechend: Monte Carlo Simulation. Wang und Pötzelberger (1997) haben eine explizite, analytische Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Brownsche Bewegung eine stückweise lineare Funktion überschreitet in Form eines Erwartungswertes hergeleitet. Basierend auf dieser Formel machen wir nun folgende Schritte: Zuerst nähern wir die gegebene Schranke c(t) durch eine stückweise lineare Funktion c_m(t) auf einer gleichförmigen Partition an. Dann simulieren wir Brownsche Pfade um den Erwartungswartungswert in der Formel der Autoren für c_m(t) auszuwerten. Indem wir Q(c_m(t); T) an Stelle von Q(c(t); T) schätzen, tritt Bias auf. Dieser kann jedoch durch eine Formel von Borovkov und Novikov (2005) abgeschätzt werden. Es zeigt sich, dass die Standardabweichung - bzw. die Varianz - der primäre Beschränkungsfaktor für eine höhere Genauigkeit der Ergebnisse ist. Das Hauptziel dieser Dissertation ist es, varianzreduzierende Verfahren zu finden und auszuwerten um so die Genauigkeit des Monte Carlo Schätzers für Q(c(t); T) zu erhöhen. Folgende Techniken werden diskutiert: Antithetisches Sampling, Geschichtetes Sampling, Importance Sampling, Kontrollvariablen, Transformation des ursprünglichen Problems. Wir analysieren jede dieser Techniken gründlich von einem theoretischen Standpunkt aus. Weiters testen wir jede Technik empirisch mittels Simulationsexperimenten für sorgfältig ausgewählte Schranken. Um die daraus resultierenden Ergebnisse beurteilen zu können, vergleichen wir sie mit jenen für gewöhnliche Simulation ohne Varianzreduktion. Als Ergebnis dieser Dissertation präsentieren wir einige sehr gute Verfahren, die zu einer großen Verbesserung der Rechengenauigkeit führen. Darüber hinaus zeigen wir ein detailliertes Protokoll unserer Simulationsexperimente. (Autorenref.)
Bibliographical Information:

Advisor:Pötzelberger, Klaus; Geyer, Alois

School:Wirtschaftsuniversität Wien

School Location:Austria

Source Type:Master's Thesis

Keywords:monte carlo simulation brownsche bewegung schätzfunktion varianz reduktion

ISBN:

Date of Publication:01/01/2005

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