Moduli spaces of zero-dimensional geometric objects

by Lundkvist, Christian

The topic of this thesis is the study of moduli spaces of zero-dimensional geometric objects. The thesis consists of three articles each focusing on a particular moduli space. The first article concerns the Hilbert scheme Hilb(X). This moduli space parametrizes closed subschemes of a fixed ambient scheme X. It has been known implicitly for some time that the Hilbert scheme does not behave well when the scheme X is not separated. The article shows that the separation hypothesis is necessary in the sense that the component Hilb1(X) of Hilb(X) parametrizing subschemes of dimension zero and length 1 does not exist if X is not separated. Article number two deals with the Chow scheme Chow0,n(X) parametrizing zerodimensional effective cycles of length n on the given scheme X. There is a related construction, the Symmetric product Symn(X), defined as the quotient of the n-fold product X × . . . × X of X by the natural action of the symmetric group Sn permuting the factors. There is a canonical map Symn(X) ? Chow0,n(X) that, set-theoretically, maps a tuple (x1, . . . , xn) to the cycle ?n k=1 xk. In many cases this canonical map is an isomorphism. We explore in this paper some examples where it is not an isomorphism. This will also lead to some results concerning the question whether the symmetric product commutes with base change. The third article is related to the Fulton-MacPherson compactification of the configuration space of points. Here we begin by considering the configuration space F (X, n) parametrizing n-tuples of distinct ordered points on a smooth scheme X. The scheme F (X, n) has a compactification X[n] which is obtained from the product Xn by a sequence of blowups. Thus X[n] is itself not defined as a moduli space, but the points on the boundary of X[n] may be interpreted as geometric objects called stable degenerations. It is then natural to ask if X[n] can be defined as a moduli space of stable degenerations instead of as a blowup. In the third article we begin work towards an answer to this question in the case where X = P2. We define a very general moduli stack Xpv2 parametrizing projective schemes whose structure sheaf has vanishing second cohomology. We then use Artin’s criteria to show that this stack is algebraic. One may define a stack SDX,n of stable degenerations of X and the goal is then to prove algebraicity of the stack SDX,n by using Xpv2. iv Sammanfattning Denna avhandling behandlar modulirum av nolldimensionella geometriska objekt. Avhandlingen består av tre artiklar som var och en fokuserar på ett speciellt modulirum. Den första artikeln tar upp Hilbertschemat Hilb(X). Detta modulirum parametriserar slutna delscheman av ett fixt schema X. Vanligtvis studeras Hilbertschemat utifrån hypotesen att schemat X är separerat. Artikeln visar att denna hypotes är nödvändig eftersom komponenten Hilb1(X) av Hilb(X) som parametriserar delscheman av dimension noll och längd ett ej existerar om X inte är separerat. Den andra artikeln handlar om Chowschemat Chow0,n(X) som parametriserar nolldimensionella cykler av längd n på ett givet schema X. En relaterad konstruktion är den symmetriska produkten Symn(X) som defineras som kvoten av produkten X × . . . × X under verkan av den symmetriska gruppen Sn som permuterar faktorerna. Det finns en kanonisk avbildning Symn(X) ? Chow0,n(X) som mängdteoretiskt avbildar en tupel (x1, . . . , xn) på cykeln ?n k=1 xk. Denna kanoniska avbildning är i många fall en isomorfi. I artikeln i fråga utforskar vi ett antal exempel där den kanoniska avbildningen inte är en isomorfi. Detta leder även till några resultat angående frågan om den symmetriska produkten kommuterar med basbyte. Den tredje artikeln har kopplingar till Fulton-MacPhersons kompaktifiering av konfigurationsrummet av punkter. Här börjar vi med att studera konfigurationsrummet F (X, n) som parametriserar n-tupler av distinkta ordnade punkter på ett givet ickesingulärt schema X. Schemat F (X, n) har en kompaktifiering X[n] som fås från produkten Xn genom en följd av uppblåsningar. Därmed är X[n] i sig inte definierat som ett modulirum, men punkterna på randen till X[n] kan tolkas som geometriska objekt, så kallade stabila degenerationer. Det är därför naturligt att fråga sig om X[n] kan definieras som ett modulirum av stabila degenerationer istället för att konstrueras genom uppblåsningar. I artikel nummer tre påbörjar vi arbetet mot svaret till denna fråga i fallet X = P2. Vi definierar en generell modulistack Xpv2 som parametriserar projektiva scheman vars strukturkärve har kohomologi noll i grad 2. Vi använder därefter Artins kriterier för att visa att stacken Xpv2 är algebraisk. Vi definierar en stack SDX,n som parametriserar stabila degenerationer och förhoppningen är att kunna använda Xpv2 för att visa att SDX,n är algebraisk.