La ecuación de Ince-Hill

by Sastre Sendra, Joaquin

RESUMEN La ecuación de Ince-Hill es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coecientes periódicos que depende de 4 parámetros a; b; c y d (1 + a cos 2x) d2y dx2 + b sen 2x dy dx + (c + d cos 2x)y = 0 (1) Uno de los motivos de interés de esta ecuación reside en aparecer en ecuaciones variacionales ligadas a problemas de Mecánica Celeste. Con frecuencia el parámetro a representa ¡e, siendo e la excentricidad. Precisamente, una de las motivaciones iniciales de esta tesis es el estudio de la estabilidad de la solución trivial de (1) para los numerosos problemas de mecánica a los que se aplica. Este estudio no resulta nada sencillo desde el punto de vista analítico. Observar que la ecuación de Ince-Hill es una ecuación diferencial lineal de segundo orden que posee singularidades regulares, también llamadas de tipo Fuchs, es por ello que la tesis está dividida endos partes. Una primera, más general, que comprende los 2 primeros capítulos, dedicada al estudio local de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con una singularidad de Fuchs, representa un marco general para este tipo de ecuaciones. En esta primera parte, en el Capítulo 2, realizamos el estudio local de la foliación denida por un sistema lineal complejo en un entorno de una singularidad de Fuchs. Este estudio general representa uno de los resultados más destacados de la tesis, ya que, aunque las ecuaciones lineales con coecientes holomorfos han sido abordadas usualmente desde el punto de vista analítico, su consideración como sistema dinámico, y la introducción de métodos algebraicos ha sido más reciente. Así la foliación para sistemas lineales ha sido realizada por Camacho, C., H. Kuiper, N., Palis, J. En nuestro caso se trata del estudio de sistemas con singularidades tipo Fuchs. A diferencia de Camacho, C., H. Kuiper, N., Palis, J. en el que se realiza un estudio de la foliación realizado mediante métodos con independencia de las coordenadas, la presencia de singularidades nos obligada a basarnos en ellas. Como resultado obtenemos una caracterización de la foliación determinada por el campo vectorial. Continuando con la analogía entre Camacho, C., H. Kuiper, N., Palis, J. y el caso con un sistema con singularidades, en el Capítulo 3 vemos como se puede llevar el estudio realizado en el Capítulo 2 a los campos vectoriales en CPn. Generalizando los trabajos de Zakeri, S. obtenemos una relación entre los campos vectoriales lineales en Cn+1 y los campos vectoriales en CPn con una singularidad de Fuchs. La segunda parte de la tesis, que comprende el Capítulo 4, la dedicamos al estudio particular de la ecuación de Ince-Hill. Se clasica en función del tipo de singularidades que posee para los distintos valores de los parámetros, para lo cual analizamos la forma algebraica de la ecuación. Finalmente, realizamos un estudio de la misma en el caso en el que la ecuación se puede expresar como un sistema Hamiltoniano y realizamos el estudio de la estabilidad para algunos casos concretos de los parámetros, siguiendo uno de los objetivos señalados anteriormente.