Details

En skarp version av Iliev-Sendovs hypotes

by Berggren, Elin

Abstract (Summary)
The Iliev-Sendovs conjecture consists of the following statement: When p(z) = (z ? z1)(z ? z2) · · · (z ? zn) is a polynomial of degree n ? 2, whose all zeros are in the unit disc, there is at least one zero of the derivative p?(z) within unit length from each given zero of the polynomial p(z). The hypothesis is proven for polynomials of degrees n ? 8. The purpose of this essay is to investigate the Iliev-Sendovs conjecture. Based on a given zero point a in the unit disc, I would like to identify a sufficient and possibly smaller region En(a) than the circular region within unit length from the zero at a, where each point of En(a) should correspond to a zero of the derivative p?(z). I also want to search for parts of En(a) for polynomials of degree n ? 3. Already for polynomials of degree two the case is that the ”ideal” area E2(a) is significantly smaller, in particular { ? E2(a) = z : ?z ? a ? ? 2 1 } 2 For polynomials of degree three I have shown that ? ? ? z : ?z ? ? a ? 12 ? 3 |a| ? ? 2 2 ? ? ? E3(a) 6 ? Furthermore, I have shown that { En(0) = z : |z| ? 1 n?1 ? } n When 0 ? a < 1, I find that the ellipse described by the equation ( x ? a 2 )2 and its interior, is a subset of En(a). + 1 1 ? a2 y2 = 1 4 1 Sammanfattning Iliev-Sendovs hypotes best?ar av följande p?ast?aende: D?a p(z) = (z ? z1)(z ? z2) · · · (z ? zn) är ett polynom av grad n ? 2, vars alla nollställen ligger i enhetsskivan, ligger det ?atminstone ett nollställe till derivatan p?(z) inom en längdenhet fr?an varje nollställe till polynomet p(z). Hypotesen är bevisad för polynom av gradtal n ? 8. Syftet med denna uppsats är att studera Iliev-Sendovs hypotes. Utifr?an ett givet nollställe a i enhetsskivan vill jag identifiera ett tillräckligt och eventuellt mindre omr?ade En(a) än det som begränsas inom en längdenhet fr?an nollstället a, där varje punkt motsvaras av ett nollställe till derivatan p?(z). Jag vill ocks?a söka efter delar av En(a) för polynom av grad n ? 3. Redan för polynom av grad tv?a gäller det att det ”optimala” omr?adet E2(a) är betydligt mindre än det som begränsas av cirkeln med radien en längdenhet, nämligen E2(a) = {z : ? } a z ? ? 1 2 ? 2 . { För polynom av grad tre har jag visat att z : ? ? } 2 a z ? ? 12?3|a| ? ? E3(a). 2 6 För alla polynom jag har studerat har jag börjat med att fixera ett nollställe i origo och har d?a funnit att { En(0) = z : |z| ? 1 n?1 ? } n När jag fixerar ett nollställe till ett polynom av grad n i en punkt z = a, där 0 ? a < 1, finner jag att ellipsen som beskrivs av ekvationen ( x ? a 2 )2 + 1 1 ? a2 y2 = 1 4 och dess innandöme är en delmängd av En(a). 1 Inneh?all 1 Inledning 4 1.1 Iliev-Sendovs hypotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Andragradspolynom 12 2.1 Tv?a exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Ett godtyckligt andragradspolynom med nollställen i enhetsskivan
Bibliographical Information:

Advisor:

School:Växjö universitet

School Location:Sweden

Source Type:Master's Thesis

Keywords:

ISBN:

Date of Publication:02/13/2009

© 2009 OpenThesis.org. All Rights Reserved.