Direct Numerical Simulation of Turbulent Dispersion of Buoyant Plumes in a Pressure-Driven channel flow.

by Fabregat Tomàs, Alexandre

Resum tesi doctoral DIRECT NUMERICAL SIMULATION OF TURBULENT DISPERSION OF BUOYANT PLUMES IN A PRESSURE-DRIVEN CHANNEL FLOW Simulaci´o num`erica directa de la dispersi´o turbulenta de plomalls amb flotaci´o en un flux en un canal Alexandre Fabregat Tom`as Tarragona, octubre del 2006 1 Introducci´o Lobjectiu daquest treball ´es estudiar la dispersi´o turbulenta de calor en diferents configuracions basades en el canal desenvolupat mitjanc¸ant DNS (Direct Numerical Simulations). Aquesta eina ha demostrat ser de gran utilitat a lhora destudiar fluxos turbulents ja que permet, donada una malla computacional capac¸ de capturar totes les estructures del flux i un esquema que minimitzi els errors i la dissipaci´o num`erica, descriure acuradament levoluci´o temporal del flux. Permet a m´es, donada la descripci´o tridimensional i temporal del flux, determinar amb precisi´o qualsevol quantitat que seria impossible dobtenir experimentalment. En el flux en un canal, el fluid esmou entre dues parets planes, llises i paral·leles separades una dist`ancia 2d impulsat per un gradient constant mitj`a de pressi´o. El flux sanomena desenvolupat quan ja no hi ha efectes de regi´o dentrada i la ´unica inhomogene¨ýtat es troba en la direcci´o normal a la paret. Sota aquestes condicions, les quantitats promitjades esdevenen estacion`aries en el temps. En aquest treball sha validat el codi computacional mitjanc¸ant la reproducci ´o dalgunes configuracions de flux pr`eviament estudiades per altres autors. Els nous coneixements en lestudi de la dispersi´o turbulenta de calor shan obtingut a lincloure, en un flux totalment desenvolupat en un canal, una font lineal centrada verticalment que provoca laparici´o dun plomall amb una temperatura m´es alta que la del flux del fons i que per tant, al tenir una menor densitat, experimenta flotaci´o i es deflecteix. Lamitjanament temporal del flux permet estudiar les diferents contribucions dels diferents termes rellevants en les equacions de transport. ´E s despecial inter`es la comparativa daquests resultats amb els corresponents a la formaci´o dun plomall a partir duna font lineal dun escalar passiu. Per altra banda tamb´e sha estudiat lefici`encia en paral·lel dels m`etodes multigrid en la resoluci´o dequacions de Poisson. Aquestes equacions s´on despecial inter`es ja que apareixen en el c`alcul de la pressi´o i representen un coll dampolla en termes de costos computacionals. Aquest m`etode num`eric ha estat comparat amb els m`etodes de gradient conjugat (anteriorment emprats en el codi 3DINAMICS) en la resoluci´o de diferents problemes comparant els costos en termes de temps de CPU i la seua escalabilitat en la m`aquina multiprocessador de mem`oria distribu¨ýda del grup de recerca de Mec`anica de Fluids de Tarragona. 2 Descripci´o matem`atica Un cop adimensionalitzades mitjanc¸ant les escales adequades, les equacions de transport de quantitat de moviment i energia han estat discretitzades sobre una malla desplac¸ada mitjanc¸ant el m`etode de volums finits emprant un esquema centrat de segon ordre. La discretitzaci´o dels termes advectius en els casos amb fonts lineals ha requerit, per`o, dun cura especial ja que la no-linealitat daquests termes pot provocar oscil·lacions artificials en el camp dels escalars. La difusi´o num`erica dels m`etodes upwind, com el QUICK, ha estat quantificada i comparada amb resultats obtinguts per a esquemes centrats de segon ordre. Les equacions han estat integrades en el tempsmitjanc¸ant un esquema impl´ýcit de segon ordre tipus Crank- Nicholson. Tamb´e ha estat necessari implementar condicions de sortida per a la temperatura en els casos A i C del tipus no reflectant per tal de garantir la conservaci ´o i evitar laparici´o destructures artificials en el flux. 3 Descripci´o f´ýsica La figura 1 presenta un esquema del domini computacional corresponent al canal desenvolupat. De lesquema es despr´en que x, y i z corresponen a les direccions principal del flux, la perpendicular i la normal a les parets respectivament. Figura 1: Esquema de la configuraci´o del canal y x z Lx Ly Lz=2d Line source for cases A and C O Flow Les configuracions del flux estudiades es troben resumides a la taula 1 on sindica la resoluci´o de la xarxa computacional, el nombre de Reynolds (basat en la velocitat de fricci´o ut) i en el casos amb flotaci´o, el nombre de Grashof, la temperatura de refer`encia i la direcci´o de flotaci´o (la direcci´o del vector gravetat). Les dimensions del canal s´on 8pd×2pd×2d en les direccions x, y i z respectivament. En el cas A la temperatura representa un escalar de manera que el plomall format ´es passiu, ´es a dir, no hi ha acoblament entre les equacions de quantitat de moviment i energia. A difer`encia daquest, en els casos B i C totes dues equacions 2 Taula 1: Resum de les configuracions del flux Cas Descripci´o Resoluci´o xarxa Ret Gr Tre f Direcci´o flotaci´o A Plomall passiu 258×130×130 180 ?? ?? ?? B Convecci´o mixta 131×101×101 150 9.6 · 105 0.5 ?x C Plomall flotant 258×130×130 180 107 0.0 ?z queden acoblades pel terme de flotaci´o. Aquest terme apareix quan les difer`encies de temperatura en el si del fluid generen difer`encies de densitat. En el cas B, el canal vertical amb convecci´o mixta, cada paret del canal es troba a una temperatura constant per`o diferent. El vector gravetat i la direcci´o del corrent estan alineades de manera que aquesta direcci´o continua sent homog`enia. En la zona propera a la paret calenta la flotaci´o actua en la direcci´o del corrent imposada pel gradient mitj`a de pressi´o. En canvi, en la zona propera a la paret freda, la flotaci´o soposa al moviment del flux. El cas C ´es similar al cas A per`o en aquesta ocasi´o la temperatura no ´es considera un escalar passiu i per tant la flotaci´o acobla el camp din`amic amb el de temperatures. El vector gravetat actua en aquest cas en la direcci´o normal. La inhomogene¨ýtat en la direcci´o del flux no permet continuar emprant condicions de contorn peri`odiques i per tant, al domini presentat en la figura 1, se li ha acoblat una regi´o auxiliar a lentrada on es resolen ´unicament les equacions de quantitat de moviment. Els camps de velocitat i pressi´o per a un canal totalment desenvolupat obtinguts en aquest domini auxiliar sempraran com a condici´o de contorn a lentrada del domini de computaci´o. No ´es necessari cap tipus dinterpolaci´o ja que la resoluci´o del a xarxa daquest domini auxiliar ´es la mateixa que lemprada en el domini de computaci´o. 4 Resultats Els resultats per a les simulacions presentades en la taula 1 contenen, principalment, els perfils de velocitat i temperatura mitjans aix´ý com la intensitat de les fluctuacions. A m´es, es presenten els perfils de les diferents contribucions dels termes relevants de les equacions de transport amitjanades. Per al cas C, els camps din`amics i de temperatura no estan desenvolupats. Els perfils mitjans a diferents posicion aig¨ues avall permeten estudiar levoluci´o del plomall ascendent a m´es danalitzar com la flotaci´o afecta al balanc¸ de les diferents contribucions. La figure 2 presenta el camp mitj`a de temperatures per al cas C amb les tres posicions en la direcci´o principal del flux per a les quals shan incl`os els perfils. Finalment, es presenten els resultats corresponents a la comparativa entre els diferents solvers per a una equaci´o de Poisson. Tots els m`etodes num`erics han es- 3 Figura 2: Camp mitj`a de temperatures per al cas C tat paral·lelitzats mitjanc¸ant les llibreries Message Passing Interface. En la figura 3 es presenten com a exemple els resultats (en termes de temps de CPU i speedup) per a la resoluci´o de lequaci´o de Poisson per al desacoblament de pressi´o i velocitat en el cas del flux desenvolupat en un canal. Figura 3: Comparativa de solvers en la resoluci´o de lequaci´o de Poisson 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Speed-up Number of processes (a) CG Bi-CG MG Linear 1 10 100 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 CPU time (s) Number of processes (b) CG Bi-CG MG Els resultats de speed-up per als diferents m`etodes mostren la baixa escalabilitat del solver multigrid comparat amb els altres m`etodes del tipus gradient conjugat. La ra´o radica en les grans necessitats de comunicaci´o dun algoritme constru¨ýt sobre un esquema de relaxaci´o tipus SOR. Tanmateix, multigrid ´es el m`etode num`eric que requereix menys temps de CPU per concloure la tasca. El factor respecte als m`etodes de gradient conjugat pot arribar a ser de 30 i per tant ´es el millor candidat per a la resoluci´o daquests tipus de problemes. 4 DIRECT NUMERICAL SIMULATION OF TURBULENT DISPERSION OF BUOYANT PLUMES IN A PRESSURE-DRIVEN CHANNEL FLOW Alexandre Fabregat Tom`as Tarragona, octubre del 2006 The main goal of this work is to study the turbulent heat transfer in a developed channel flow using Direct Numerical Simulations (DNS). These simulations solve explicitly all the scales present in the turbulent flow so, even for moderate Reynolds numbers, the discretization grids need to be fine enough to capture the smallest structures of the flow and, consequently, DNS demands large computational resources. The flow, driven by a mean constant pressure gradient in the streamwise direction, is confined between two smooth, parallel and infinite walls separated a distance 2d. The turbulent heat transport is studied for three different flow configurations. Some of them are used as benchmark results for this work. The three cases reported can be summarized as: case A: Scalar plume from a line source in a horizontal channel. case B:Mixed convection with the gravity vector aligned with the streamwise direction (vertical channel). case C: Buoyant plume from a line source in a horizontal channel. In addition, preliminary results for a turbulent reacting flow in a fully developed channel are also presented. In the case B heat flux results from a temperature difference between the channel walls. The gravity vector is aligned with the streamwise direction and the Grashof, Reynolds and Prandtl numbers are Gr = 9.6 · 106, Ret = 150 and Pr = 0.71 respectively. Close to the hot wall, buoyancy acts aligned to the flow direction imposed by the mean pressure gradient so velocities are generally increased in comparison with a purely forced convection flow. Oppositely, near the cold wall, buoyancy is opposed to the flow and consequently velocities are decreased. Cases A and C are similar because in both cases a hot fluid is released within a cold background flow through a line source vertically centered in the wall-normal direction located at the inlet. The height of the source is 0.054d. The injected hot fluid disperses forming a hot plume that is convected downstream between the two adiabatic walls of the channel. The difference between cases A and C lies in the fact that for case A heat and momentum are decoupled and temperature acts as an scalar. Advection and diffusion are the only phenomena responsible for the evolution of the plume. On the other hand, in case C, buoyancy couples heat and momentum and, consequently, the plume floats drifting upward as it advances in the channel due to its lower density. In case C, the streamwise direction is not homogenous because of the coupling between heat and momentum. To guarantee developed conditions at the inlet of the channel it has been necessary to attach a buffer domain just before the computational domain. In this buffer domain, the momentum transport equations for a fully developed channel are solved with the same resolution used in the main domain. The results of cases A and B have been used to validate the 3DINAMICS CFD code by comparison with data reported in the literature. This code is written in FORTRAN 90 and parallelized using the Message Passing Interface (MPI-CH library). It uses the second order in time Crank-Nicholson scheme to integrate numerically the transport equations which are discretized spatially using the centered second-order finite volume approach. The analysis of averaged turbulent quantities and the contributions of the different terms of the time-averaged transport equations is used to show how buoyancy affects the turbulent transport of momentum and heat along the channel. Finally, following a similar configuration than that of case A, a chemical reactant A released through line source reacts with a background reactant B following a second order chemical reaction with Damkh¨oler number of 1. Preliminary results for turbulent species transport are also included in this work. Special attention have been devoted to the discretization of the advective terms to avoid non-realistic values of the variables because of the non-linearities of the transport equations. The conservative non-reflecting boundary conditions have been implemented at the outlet to simulate the convected outflow when the streamwise direction can not be considered homogeneous, as in case C. For homogeneous directions, periodic boundary conditions have been used. Large grid resolutions (up to 8 million grid nodes for case C including the buffer region) demand important computational resources. A parallel Multigrid solver has substituted the previous conjugate gradient method to solve the Poisson equation in the pressure calculation. This step was the most expensive in terms of CPU costs. The Multigrid method efficiency has been compared with two different versions of the conjugate gradient approach and it has been demonstrated that this method is the most efficient in terms of CPU time although the current algorithmcan be improved to enhance the scalability inmultiprocessor computers. 2